2493. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.
Указание. Пусть BC=a
— данная сторона треугольника ABC
, AB\gt AC
, AB-AC=d
— данная разность, \angle B=\beta
— данный угол. Отложите на луче AB
отрезок AD
, равный AC
.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть \angle B=\beta
— данный угол, AB\gt AC
, AB-AC=d
— данная разность, BC=a
— данная сторона.
На луче AB
отложим отрезок AD
, равный AC
. Тогда
BD=AB-AD=AB-AC=d
и треугольник ADC
— равнобедренный. Следовательно, вершина A
лежит на серединном перпендикуляре к DC
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим треугольник DBC
по двум сторонам (BC=a
, BD=d
) и углу между ними (\angle B=\beta)
. Пересечение серединного перпендикуляра к стороне DC
с прямой BD
даёт искомую вершину A
. (Если AB\lt AC
, то угол CBD
равен 180^{\circ}-\beta
.)