2497. Через точку M
пересечения двух окружностей проведите прямую, вторично пересекающую окружности в точках A
и B
соответственно, причём так, чтобы отрезок AB
был равен заданному, а точка M
оказалась между A
и B
(центры окружностей расположены по разные стороны от общей хорды).
Указание. Проекции центров окружностей на искомую прямую делят соответствующие хорды пополам.
Решение. Предположим, что нужная прямая построена. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данный окружностей, r
и R
— их радиусы (r\lt R)
, AB=a
— данный отрезок, точка A
лежит на окружности с центром O_{1}
, B
— на окружности с центром O_{2}
.
Пусть P
и Q
— проекции точек O_{1}
и O_{2}
на прямую AB
. Тогда P
и Q
— середины хорд AM
и BM
данных окружностей. Если F
— проекция точки O_{1}
на прямую O_{2}Q
, то в прямоугольном треугольнике O_{1}FO_{2}
известны катет
O_{1}F=PQ=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a
и гипотенуза O_{1}O_{2}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим прямоугольный треугольник O_{1}FO_{2}
по гипотенузе O_{1}O_{2}
и катету O_{1}F=\frac{1}{2}a
, и через точку M
проводим прямую, параллельную O_{1}F
.