2504. Дан треугольник ABC
и точка H
на прямой AB
. Докажите, что CH
— высота треугольника ABC
тогда и только тогда, когда AC^{2}-BC^{2}=AH^{2}-BH^{2}
.
Указание. Примените теорему Пифагора и метод координат.
Решение. Необходимость. Пусть CH
— высота треугольника ABC
. Если точка H
совпадает с вершинами A
или B
, то утверждение очевидно. Пусть точка H
не совпадает ни с A
, ни с B
. Тогда по теореме Пифагора из прямоугольных треугольников ACH
и BCH
находим, что
AC^{2}-AH^{2}=CH^{2},~BC^{2}-BH^{2}=CH^{2},
поэтому AC^{2}-AH^{2}=BC^{2}-BH^{2}
. Следовательно, AC^{2}-BC^{2}=AH^{2}-BH^{2}
.
Достаточность.
Пусть точка H
на прямой AB
и AC^{2}-BC^{2}=AH^{2}-BH^{2}
. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат следующим образом. Начало координат — точка A
, ось абсцисс направлена по лучу AB
, ось ординат перпендикулярна AB
. Выпишем координаты точек:A(0;0)
, B(c;0)
, C(p;q)
, H(x;0)
. Тогда
AC^{2}=p^{2}+q^{2},~BC^{2}=(p-c)^{2}+q^{2},~AH^{2}=x^{2},~BH^{2}=(c-x)^{2}.
По условию
p^{2}+q^{2}-(p-c)^{2}-q^{2}=x^{2}-(c-x)^{2},
откуда x=p
, т. е. прямая CH
перпендикулярна оси Oy
. Следовательно, CH
— высота треугольника ABC
.