2512. Дан угол и точка внутри него. С помощью циркуля и линейки проведите через эту точку прямую, отрезок которой, заключённый внутри данного угла, делился бы данной точкой в заданном отношении.
Указание. Через данную точку проведите прямую, параллельную одной из сторон данного угла.
Решение. Предположим, что нужная прямая проведена. Пусть прямая, проходящая через точку M
, расположенную внутри данного угла AOB
, пересекает стороны OA
и OB
этого угла в точках P
и Q
таких, что \frac{MP}{MQ}=\frac{m}{n}
, где m
и n
— данные отрезки.
Через точку M
проведём прямую, параллельную OB
, до пересечения с лучом OA
в точке K
. Тогда
\frac{PK}{OK}=\frac{PM}{MQ}=\frac{m}{n}.
Отсюда вытекает следующий способ построения. На произвольном луче OF
отложим последовательно отрезки OX
и XY
, равные соответственно n
и m
. Пусть K
— точка пересечения с лучом OA
прямой, проходящей через данную точку M
параллельно OB
. Проведём через точку Y
прямую, параллельную XK
до пересечения с лучом OA
в точке P
. Тогда PM
— искомая прямая.