2519. С помощью циркуля и линейки впишите ромб в данный параллелограмм так, чтобы стороны ромба были параллельны диагоналям параллелограмма, а вершины ромба лежали бы на сторонах параллелограмма.
Указание. Примените гомотетию.
Решение. Первый способ. Предположим, что задача решена. Пусть вершины M
, N
, K
и L
ромба MNKL
расположены на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и AD
данного параллелограмма ABCD
, причём LM\parallel BD
и MN\parallel AC
.
Пусть M_{1}
— произвольная точка отрезка AM
. Рассмотрим гомотетию с центром A
, переводящую точку M
в точку M_{1}
. При этой гомотетии ромб MNKL
перейдёт в ромб M_{1}N_{1}K_{1}L_{1}
, причём вершины L_{1}
, K_{1}
и N_{1}
будут лежать на отрезках AD
, AK
и AN
соответственно, а стороны полученного ромба будут параллельны диагоналям данного параллелограмма.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Через точку M_{1}
стороны AB
проведём прямую, параллельную диагонали BD
данного параллелограмма ABCD
, до пересечения со стороной AD
в точке L_{1}
. Через точки M_{1}
и L_{1}
проведём прямые, параллельные диагонали AC
, и отложим на них в полуплоскости, содержащей вершину C
, отрезки L_{1}K_{1}
и M_{1}N_{1}
, равные отрезку L_{1}M_{1}
.
Продолжим отрезки AN_{1}
и AK_{1}
до пересечения со сторонами BC
и DC
в точках N
и K
соответственно. Через точки N
и K
проведём прямые, параллельные диагонали AC
, до пересечения со сторонами AB
и AD
в точках M
и L
соответственно.
Докажем, что четырёхугольник MNKL
— ромб. Для этого достаточно доказать, что KN\parallel BD
, поскольку тогда четырёхугольник MNKL
будет гомотетичен ромбу M_{1}N_{1}K_{1}L_{1}
.
Обозначим через E
и F
точки пересечения прямых AK
и AN
с диагональю BD
, а через Q
и H
— точки пересечения прямых AK
и AN
с прямой, проходящей через вершину C
параллельно диагонали BD
. Прямая AC
проходит через середины сторон M_{1}L_{1}
и K_{1}N_{1}
ромба M_{1}L_{1}K_{1}N_{1}
. Поэтому QC=HC
и OE=OF
, где O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
. Поскольку DO=OB
, то DE=BF
. Поэтому
\frac{CK}{KD}=\frac{QC}{DE}=\frac{HC}{BF}=\frac{CN}{NB}.
Следовательно, KN\parallel BD
.
Второй способ. Предположим, что задача решена. Пусть вершины M
, N
, K
, L
ромба MNKL
расположены на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и AD
данного параллелограмма ABCD
.
Точка пересечения диагоналей ромба принадлежит средним линиям параллелограмма. Поэтому она совпадает с точкой O
пересечения диагоналей параллелограмма.
Обозначим через X
и Y
точки пересечения отрезков ML
и MN
с диагоналями параллелограмма. Тогда MX=\frac{1}{2}ML=\frac{1}{2}MN=MY
.
Поэтому MXOY
— ромб, а его диагональ OM
является биссектрисой угла AOB
. Аналогично для отрезков OL
, OK
и ON
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим биссектрисы углов AOB
и BOC
. Их пересечения со сторонами данного параллелограмма — вершины данного ромба.
Действительно, диагонали полученного таким образом четырёхугольника взаимно перпендикулярны и делятся точкой их пересечения пополам. С другой стороны, по свойству биссектрисы треугольника
\frac{BM}{MA}=\frac{OB}{OA}=\frac{OB}{OC}=\frac{BN}{NC}.
Следовательно, MN\parallel AC
. Аналогично ML\parallel BD
.