2520. С помощью циркуля и линейки постройте трапецию по отношению её оснований, двум углам при одном из этих оснований и высоте.
Указание. Примените гомотетию.
Решение. Пусть \frac{m}{n}
— данное отношение оснований. Для определённости будем считать, что m\lt n
, а данные углы прилегают к большему основанию трапеции.
Строим треугольник с основанием BC
, равным n
и данными углами при этом основании. На основании BC
откладываем отрезок BK
, равный m
, и через точку K
проводим прямую, параллельную стороне AB
, до пересечения со стороной AC
в точке M
. Через точку M
проводим прямую, параллельную основанию BC
, до пересечения со стороной AB
в точке N
. Тогда BCMN
— трапеция с основаниями BC=n
и MN=m
и данными углами при основании.
Пусть MP
— её высота. На луче PM
откладываем отрезок PQ
, равный данной высоте, и проводим через точку Q
прямую, параллельную BC
. Пусть эта прямая пересекает луч BM
в точке M_{1}
. Тогда M_{1}
— вершина искомой трапеции. Остальные вершины — это точка B
, точка N_{1}
пересечения M_{1}Q
с лучом BN
и точка C_{1}
пересечения прямой, проходящей через точку M_{1}
параллельно MC
, с лучом BC
. Трапеция BC_{1}M_{1}N_{1}
искомая, поскольку она гомотетична трапеции BCMN
.