2525. На одной из сторон прямого угла даны точки A
и B
. С помощью циркуля и линейки постройте на другой стороне такую точку X
, чтобы \angle AXB=2\angle ABX
.
Указание. Пусть Y
— такая точка отрезка BX
, что AY=AX
. Тогда середину отрезка XY
можно построить как пересечение двух геометрических мест точек.
Решение. Предположим, что нужная точка X
построена. Пусть O
— вершина прямого угла. Рассмотрим случай, когда точка A
расположена между точками O
и B
Возьмём на отрезке BX
такую точку Y
, что AY=AX
. Если \angle OBX=\alpha
, то \angle AXB=2\alpha
, а так как треугольник XAY
равнобедренный, то \angle AYX=2\alpha
. Поэтому
\angle BAY=\angle AYX-\angle OBX=\alpha,
т. е. треугольник AYB
также равнобедренный.
Пусть окружность, построенная на отрезке AB
как на диаметре, пересекает отрезок BX
в точке M
. Тогда AM
— высота равнобедренного треугольника XAY
. Поэтому M
— середина отрезка XY
. Если K
— середина AB
, то прямая, проходящая через точку M
параллельно OX
, делит отрезок OK
пополам.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим на отрезке AB
как на диаметре окружность. Через середину E
отрезка с концами в центре K
этой окружности и в вершине O
данного угла проводим прямую, параллельную другой стороне данного прямого угла, до пересечения с построенной окружностью в точке M
. Прямая BM
пересекает вторую сторону данного угла в искомой точке X
.
Действительно, пусть Y
— такая точка на отрезке BX
, что YK\perp OB
. Тогда YA=YB
. Поскольку EK=EO
и ME\parallel YK
, то MY=MX
, а так как AM\perp XY
, то AX=AY
. Если \angle ABX=\alpha
, то
\angle AXB=\angle AYM=\angle YAB+\angle YBA=\alpha+\alpha=2\alpha,
что и требовалось доказать.