2528. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC
по точкам A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, симметричным точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника относительно прямых BC
, CA
, AB
.
Указание. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на описанной окружности искомого треугольника ABC
(см. задачу 4785).
Решение. Известно, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности (см. задачу 4785). Пусть данные точки — вершины остроугольного треугольника. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть H
— точка пересечения его высот. Тогда отрезки AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
проходят через точку H
. Поэтому
\angle BB_{1}C_{1}=\angle BCC_{1}=\angle BAA_{1}=\angle BB_{1}A_{1},
т. е. луч B_{1}B
— биссектриса угла A_{1}B_{1}C_{1}
. Аналогично для лучей A_{1}A
и C_{1}C
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Проводим окружность через данные точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
. Биссектрисы углов треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
продолжаем до пересечения с этой окружностью. Полученные точки — вершины искомого треугольника ABC
.