2535. Дан отрезок AB
. Найдите на плоскости множество таких точек C
, что медиана треугольника ABC
, проведённая из вершины A
, равна высоте, проведённой из вершины B
.
Ответ. Две равные пересекающиеся окружности без точек их пересечения.
Решение. Пусть точка C
удовлетворяет условию задачи, AD
— медиана треугольника ABC
, BF
— высота, AD=BF
. На продолжении отрезка AD
за точку D
отложим отрезок DE
, равный AD
. Тогда четырёхугольник ABEC
— параллелограмм.
Предположим, что угол AEB
острый. Пусть K
— проекция точки A
на прямую BE
. Тогда
\frac{AK}{AE}=\frac{BF}{2AD}=\frac{1}{2}.
Поэтому \angle AEB=30^{\circ}
. Если угол AEB
тупой, то аналогично получим, что \angle AEB=150^{\circ}
. Следовательно, все такие точки E
находятся на двух равных окружностях S_{1}
и S_{2}
, которые общей хордой AB
делятся на дуги в 300^{\circ}
и 60^{\circ}
. Тогда все точки C
находятся на окружностях S_{1}'
и S_{2}'
, полученных из S_{1}
и S_{2}
параллельным переносом на вектор \overrightarrow{BA}
.
Докажем теперь, что любая точка M
окружностей S_{1}'
и S_{2}'
, кроме точек их пересечения, удовлетворяет условию.
Пусть M
— произвольная точка одной из этих окружностей, отличная от их точки пересечения. При параллельном переносе на вектор \overrightarrow{AB}
точка M
переходит в некоторую точку N
одной из окружностей S_{1}
или S_{2}
. Если AD
— медиана треугольника ABM
, BF
— его высота, K
— проекция точки A
на прямую NB
, а \angle ANB=30^{\circ}
, то
BF=AK=\frac{1}{2}AN=AD,
т. е. точка M
удовлетворяет условию. Аналогично для второго случая (\angle ANB=150^{\circ}
).
Итак, все точки окружностей S_{1}'
и S_{2}'
, кроме концов их общей хорды, удовлетворяют условию.