2536. Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении 1:2
.
Указание. Рассмотрите образ одной из вершин треугольника при симметрии относительно указанной медианы (или примените теорему синусов).
Решение. Первый способ. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть BC=a
и AC=b
— его данные стороны, CM
— медиана, \angle ACM=\alpha
, \angle BCM=2\alpha
. Если E
— точка, симметричная вершине B
относительно прямой CM
, то
CE=CB=a,~\angle ECM=\angle BCM=2\alpha,
\angle ECA=\angle ECM-\angle ACM=2\alpha-\alpha=\alpha.
Поскольку ME=MB=MA
, то \angle AEB=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Поэтому AE\parallel MC
, \angle EAC=\angle MCA=\alpha
. Следовательно, треугольник AEC
— равнобедренный, т. е. AE=EC=a
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим равнобедренный треугольник ACE
по трём сторонам. Через вершину C
проводим прямую, параллельную AE
. Образ точки E
при симметрии относительно этой прямой есть искомая вершина B
.
Второй способ. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть BC=a
и AC=b
— его данные стороны, CM
— медиана. Обозначим \angle ACM=\alpha
, \angle BCM=2\alpha
. Применив теорему синусов к треугольникам BCM
и ACM
, находим, что a\sin2\alpha=b\sin\alpha
, поэтому \cos\alpha=\frac{b}{2a}
. Следовательно, угол \alpha
можно построить. Поскольку 0\lt3\alpha\lt180^{\circ}
, то 0\lt\alpha\lt60^{\circ}
. Поэтому задача имеет решение (и притом единственное) при 1\lt\frac{b}{2a}
.