2540. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если на плоскости отмечены три точки: O
— центр описанной окружности, P
— точка пересечения медиан и H
— основание одной из высот этого треугольника.
Указание. Рассмотрите прямую Эйлера искомого треугольника (или отобразите треугольник относительно серединного перпендикуляра к стороне, содержащей точку H
).
Решение. Первый способ. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен (рис. 1), BH
— его высота, Q
— точка пересечения высот. Тогда точки O
, P
и Q
лежат на одной прямой (прямая Эйлера треугольника ABC
), точка P
— между O
и Q
, PQ=2OP
.
Отсюда вытекает следующее построение. На продолжении отрезка OP
за точку P
откладываем отрезок PQ
, вдвое больший данного отрезка OP
. Через данную точку H
проводим прямую, перпендикулярную QH
. Пусть M
— проекция точки O
на эту прямую. Точка B
пересечения прямых MP
и QH
— вершина искомого треугольника.
С центром в точке O
строим окружность радиуса OB
. Эта окружность пересекает прямую HM
в вершинах A
и C
искомого треугольника.
Второй способ (Квант, 1976, N7, с.30). Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть M
— середина стороны AC
. Рассмотрим треугольник AB_{1}C
, симметричный треугольнику ABC
относительно прямой OM
(рис. 2). Поскольку окружность симметрична относительно любого своего диаметра, точка B_{1}
лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Если N
— точка пересечения медианы BM
и отрезка HB_{1}
, то \frac{BN}{NM}=\frac{BB_{1}}{HM}=2
, поэтому точка N
совпадает с точкой P
пересечения медиан треугольника ABC
. Кроме того, поскольку \angle HBB_{1}=90^{\circ}
, точка B
лежит на окружности с диаметром HB_{1}
.
Отсюда вытекает следующее построение. На продолжении отрезка HP
за точку P
отложим отрезок PB_{1}
, вдвое больший отрезка HP
. С центром в точке O
построим окружность радиуса OB_{1}
(рис. 3). Построим вторую окружность на отрезке B_{1}H
как на диаметре. Точка пересечения этих окружностей, отличная от B_{1}
, есть вершина B
искомого треугольника.
Вершины A
и C
— это точки пересечения первой из построенных окружностей с прямой, проходящей через точку H
параллельно BB_{1}
.
Третий способ. На продолжении отрезка OP
за точку P
откладываем отрезок PQ
, вдвое больший данного отрезка OP
. Строим середину E
отрезка OQ
— центр окружности девяти точек искомого треугольника ABC
(см. задачу 174). Тогда OH
— радиус окружности девяти точек, а радиус описанной окружности искомого треугольника равен 2EH
. С центром в данной точке O
строим окружность радиуса, равного 2EH
. Пусть A
— точка пересечения этой окружности с прямой QH
. Тогда точки пересечения окружности с прямой, проведённой через данную точку H
перпендикулярно AH
, — вершины B
и C
искомого треугольника ABC
.