2542. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC
, если заданы его наименьший угол при вершине A
и отрезки d=AB-BC
и e=AC-BC
.
Указание. Примените гомотетию.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Отложим на лучах CA
и BA
соответственно отрезки CB_{1}
и BC_{1}
, равные отрезку BC
. Тогда
AB_{1}=AC-CB_{1}=AC-CB=e,~AC_{1}=AB-BC_{1}=AB-BC=d.
Поскольку треугольник AB_{1}C_{1}
можно построить (по двум сторонам и углу между ними), задача сводится к построению на продолжениях сторон AC_{1}
и AB_{1}
соответственно таких точек B
и C
, что B_{1}C=C_{1}B=BC
(рис. 1).
На продолжении отрезка AB_{1}
за точку B_{1}
отложим произвольный отрезок B_{1}B_{2}
(рис. 2); через точку B_{1}
проведём прямую, параллельную стороне AC_{1}
, и отложим на ней отрезок B_{1}K
, равный B_{1}B_{2}
так, чтобы точки K
и C_{1}
лежали по одну сторону от прямой AB_{1}
. Через точку K
проведём прямую, параллельную B_{1}C_{1}
, до пересечения с лучом AC_{1}
в точке L
. С центром в точке B_{2}
проведём окружность радиуса B_{2}B_{1}
. Пусть N
— точка пересечения этой окружности с лучом KL
. Если прямая, проходящая через точку N
параллельно B_{1}K
, пересекает луч B_{1}C_{1}
в точке M
, то MN=B_{1}K=B_{1}B_{2}
.
При гомотетии с центром в точке B_{1}
и коэффициентом \frac{B_{1}C_{1}}{B_{1}M}
точки N
и B_{2}
перейдут в искомые вершины B
и C
соответственно (B
— точка пересечения луча B_{1}N
с лучом AC_{1})
.