2576. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
диагонали AC
и BD
пересекаются в точке O
. Точки K
, L
, M
и N
лежат на сторонах AB
, BC
, CD
и AD
соответственно, причём точка O
лежит на отрезках KM
и LN
и делит их пополам. Докажите, что ABCD
— параллелограмм.
Решение. Предположим, например, что OC\gt OA
. Тогда при симметрии относительно точки O
точка A
перейдёт в точку, лежащую на отрезке OC
. Если при этом OB\leqslant OD
, то вершина B
перейдёт в точку, лежащую на отрезке OD
, значит, точка M
перейдёт в точку, лежащую внутри треугольника COD
, что невозможно, так как точка M
симметрична точке K
относительно O
. Если же OB\gt OD
, то аналогично рассмотрим образ треугольника AOD
при симметрии относительно точки O
.