2581. Какую максимальную площадь может иметь четырёхугольник, длины сторон которого равны 1, 4, 7, 8?
Ответ. 18.
Решение. Рассмотрим четырёхугольник, две соседние стороны которого равны 1 и 8. Тогда две другие соседние стороны равны 4 и 7. Если стороны, равные 1 и 8, противоположны, то проведём диагональ и отразим относительно её серединного перпендикуляра один из полученных треугольников. Тогда стороны, равные 1 и 8, будут соседними, а площадь четырёхугольника не изменится.
Пусть S
— площадь данного четырёхугольника, \alpha
— угол между соседними сторонами, равными 1 и 8, а \beta
— угол между соседними сторонами, равными 4 и 7. Тогда
S=\frac{1}{2}\cdot1\cdot8\sin\alpha+\frac{1}{2}\cdot4\cdot7\sin\beta\leqslant\frac{1}{2}\cdot1\cdot8+\frac{1}{2}\cdot4\cdot7=4+14=18.
Докажем теперь, что при данных условиях существует четырёхугольник, площадь которого равна 18. Действительно, поскольку 1^{2}+8^{2}=4^{2}+7^{2}
, условию задачи удовлетворяет четырёхугольник, составленный из двух прямоугольных треугольников с катетами 1, 8 и 4, 7 и общей гипотенузой, равной \sqrt{65}
.