2591. В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC
проведены высоты AD
, BE
и CF
. Точки X
, Y
и Z
таковы, что D
, E
и F
являются серединами отрезков BX
, CY
и AZ
соответственно. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников ACX
, ABY
и BCZ
, являются вершинами треугольника, равного треугольнику ABC
.
Решение. Пусть Z'
— точка, симметричная точке Z
относительно прямой BC
(рис. 1). Тогда
\angle CZ'B=\angle CZB=\angle CZA=\angle CAZ=\angle CAB
(треугольник ACZ
равнобедренный, так как его высота CF
является медианой). Из точек Z'
и A
, лежащих по одну сторону от прямой BC
, отрезок BC
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, B
, C
и Z'
лежат на одной окружности — окружности, описанной около треугольника ABC
. Поэтому при симметрии относительно прямой BC
окружность, описанная около треугольника BCZ
, переходит в окружность, описанную около треугольника ABC
, а значит, центр первой из этих окружностей переходит в центр второй. Аналогично для центров остальных окружностей, о которых говорится в условии.
Таким образом, центры O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
окружностей, описанных около треугольников ACX
, ABY
и BCZ
, симметричны центру O
описанной окружности треугольника ABC
относительно его сторон.
Заметим, что и треугольник ABC
, и треугольник O_{1}O_{2}O_{3}
(рис. 2) подобны с коэффициентом 2 треугольнику с вершинами в серединах сторон треугольника ABC
. Отсюда следует утверждение задачи.