2600. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
отмечены точки D
и E
соответственно, причём BD+DE=BC
и BE+ED=AB
. Известно также, что четырёхугольник ADEC
— вписанный. Докажите, что треугольник ABC
— равнобедренный.
Решение. Четырёхугольник ADEC
— вписанный, поэтому
\angle CAD=180^{\circ}-\angle CED=\angle BED,
значит, треугольники ABC
и EBD
подобны по двум углам. Следовательно, \frac{BD}{BC}=\frac{BE}{AB}
. Разделив обе части равенства BD+DE=BC
на BC
, а обе части равенства BE+ED=AB
на AB
, получим, что
\frac{BD}{BC}+\frac{DE}{BC}=1,~\frac{BE}{AB}+\frac{ED}{AB}=1,
откуда
\frac{ED}{AB}=1-\frac{BE}{AB}=1-\frac{BD}{BC}=\frac{DE}{BC}.
Следовательно, AB=BC
. Что и требовалось доказать.