2624. Дан треугольник со сторонами a
, b
и c
. Прямая, параллельная стороне, равной a
, касается вписанной окружности треугольника и пересекает две другие стороны в точках M
и N
. Найдите MN
.
Ответ. \frac{a(b+c-a)}{b+c+a}
.
Указание. Пусть точки M
и N
лежат на сторонах AB
и AC
треугольника ABC
, а вписанная в треугольник ABC
окружность касается стороны AB
в точке K
. Тогда отрезок AK
равен полупериметру треугольника AMN
и, в то же время, — разности между полупериметром треугольника ABC
и стороной BC
(см. задачу 219).
Решение. Пусть точки M
и N
лежат на сторонах AB
и AC
треугольника ABC
и при этом BC=a
, AB=c
, AC=b
, а вписанная в треугольник ABC
окружность касается стороны AB
в точке K
. Если p
— полупериметр треугольника ABC
, то
AK=p-BC=p-a=\frac{b+c-a}{2}
(см. задачу 219). С другой стороны, отрезок AK
равен полупериметру треугольника AMN
(см. задачу 4805).
Поскольку MN\parallel BC
, то треугольник AMN
подобен треугольнику ABC
, причём коэффициент подобия равен отношению периметров этих треугольников, т. е. \frac{b+c-a}{b+c+a}
. Следовательно,
MN=BC\cdot\frac{b+c-a}{b+c+a}=\frac{a(b+c-a)}{b+c+a}.