2630. Хорды AB
и CD
окружности пересекаются в точке M
, причём AM=AC
. Докажите, что продолжения высот AA_{1}
и DD_{1}
треугольников CAM
и BDM
пересекаются на окружности.
Указание. Биссектриса вписанного угла, опирающегося на некоторую дугу, делит эту дугу пополам.
Решение. Треугольники CAM
и BDM
подобны по двум углам. По условию один из них равнобедренный, значит, второй также равнобедренный. Высоты равнобедренных треугольников, проведённые к основанию, являются биссектрисами углов при вершинах, т. е. лучи AA_{1}
и BB_{1}
— биссектрисы равных вписанных углов BAC
и BDC
. Каждая из этих биссектрис делит дугу BC
пополам, следовательно, они проходят через одну точку на окружности — середину дуги BC
.