2632. Хорды AB
и CD
пересекаются в точке P
. Известно, что AB=CD=12
, \angle APC=60^{\circ}
и AC=2BD
. Найдите стороны треугольника BPD
.
Ответ. 4; 4; 4.
Указание. Треугольник BPD
— равносторонний.
Решение. Обозначим DP=x
, BP=y
. Треугольники DPB
и APC
подобны по двум углам, причём BD=\frac{1}{2}AC
, поэтому AP=2x
и CP=2y
. Тогда
x+2y=12,~2x+y=12,
откуда находим, что x=y=4
, а так как
\angle BPD=\angle APC=60^{\circ},
то треугольник BPD
— равносторонний. Следовательно, BD=BP=DP=4
.