2637. Дано n
палочек. Из любых трёх можно сложить тупоугольный треугольник. Каково наибольшее возможное значение n
?
Ответ. 4.
Решение. Из трёх палочек длин a\leqslant b\leqslant c
можно составить треугольник, если a+b\gt c
. По теореме косинусов этот треугольник тупоугольный тогда и только тогда, когда a^{2}+b^{2}\lt c^{2}
.
Пусть a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant\dots\leqslant a_{n}
— длины палочек.
Оценка. Предположим, что n\geqslant5
. Тогда
a_{5}^{2}\gt a_{4}^{2}+a_{3}^{2}\geqslant2a_{3}^{2}\gt2a_{2}^{2}+2a_{1}^{2}.
С другой стороны, a_{5}\lt a_{1}+a_{2}
, откуда
a_{5}^{2}\lt a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_{1}a_{2}.
Сравнив с предыдущим, получаем, что
2a_{2}^{2}+2a_{1}^{2}\lt a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+2a_{1}a_{2}~\Rightarrow~(a_{2}-a_{1})^{2}\lt0,
что невозможно.
Пример для n=4
можно построить следующим образом. Возьмём a_{1}=a_{2}=1
, выберем a_{3}
чуть больше, чем \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}
, а a_{4}
чуть больше, чем \sqrt{a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}
. Например, подходят значения 1; 1; 1,5; 1,9.