2639. Каждая из двух равных пересекающихся хорд окружности делится точкой пересечения на два отрезка. Докажите, что отрезки первой хорды соответственно равны отрезкам второй.
Указание. Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.
Решение. Пусть равные хорды AB
и CD
окружности пересекаются в точке M
. Обозначим AM=x
, CM=y
, AB=CD=a
. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд
AM\cdot BM=CM\cdot DM,~\mbox{или}~x(a-x)=y(a-y).
После очевидных упрощений получим равенство
(x-y)(x+y-a)=0,
откуда либо x=y
, либо x=a-y
, т. е. либо AM=CM
, либо AM=DM
.
Примечание. Соответствующее утверждение верно и в случае, когда пересекаются не сами хорды, а их продолжения.