2643. Одна из сторон треугольника вдвое больше другой, а угол между этими сторонами равен 60^{\circ}
. Докажите, что треугольник — прямоугольный.
Указание. Воспользуйтесь теоремой косинусов.
Решение. Первый способ. Пусть указанные стороны равны a
и 2a
. Тогда по теореме косинусов квадрат третьей стороны равен
a^{2}+4a^{2}-2a\cdot2a\cdot\frac{1}{2}=3a^{2}.
Пусть \alpha
— угол данного треугольника, лежащий против стороны, равной 2a
. Тогда по теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{a^{2}+3a^{2}-4a^{2}}{2a\cdot a\sqrt{3}}=0.
Следовательно, \alpha=90^{\circ}
.
Второй способ. Пусть угол между сторонами BC=a
и AB=2a
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
. Опустим перпендикуляр AC_{1}
из вершины A
на прямую BC
. Из прямоугольного треугольника ABC_{1}
с углом 30^{\circ}
при вершине A
находим, что
BC_{1}=\frac{1}{2}AB=BC.
Значит, точка C_{1}
совпадает с точкой C
. Следовательно, \angle ACB=90^{\circ}
.
Третий способ. Пусть угол между сторонами BC=a
и AB=2a
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
. Отметим середину M
стороны AB
. Тогда
BM=\frac{1}{2}AB=a=BC.
Треугольник BCM
равнобедренный, и в нём \angle CBM=60^{\circ}
. Значит, этот треугольник равносторонний. Тогда CM=MB=MA
, т. е. треугольник AMC
тоже равнобедренный. Его внешний угол \angle MBC=60^{\circ}
, значит, \angle CAM=\angle ACM=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle ACB=180^{\circ}-\angle ABC-\angle BAC=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.