2653. Найдите косинусы углов трапеции с основаниями 3 и 7 и боковыми сторонами 2 и 5.
Ответ. \pm\frac{37}{40}
, \pm\frac{5}{16}
.
Указание. Через вершину C
меньшего основания BC
трапеции ABCD
проведите прямую, параллельную боковой стороне AB
, и примените теорему косинусов к полученному треугольнику.
Решение. Пусть прямая, проходящая через вершину C
меньшего основания BC=3
трапеции ABCD
параллельно боковой стороне AB=5
, пересекает большее основание AD=7
в точке K
. Тогда
KD=AD-AK=AD-BC=7-3=4,~CK=AB=5.
Из треугольника CKD
по теореме косинусов находим, что
\cos\angle CDK=\frac{4^{2}+2^{2}-5^{2}}{16}=-\frac{5}{16},
\cos\angle CKD=\frac{5^{2}+4^{2}-2^{2}}{40}=\frac{37}{40}.
Тогда
\cos\angle BCD=\cos(180^{\circ}-\angle CDA)=-\cos\angle CDA=\frac{5}{16},
\cos\angle BAD=\cos\angle CKD=\frac{37}{40},
\cos\angle ABC=\cos(180^{\circ}-\angle BAD)=-\cos\angle BAD=-\frac{37}{40}.