2662. Точка M
лежит на стороне AC
равностороннего треугольника ABC
со стороной 3a
, причём AM:MC=1:2
. Точки K
и L
, расположенные на сторонах соответственно AB
и BC
являются вершинами другого равностороннего треугольника MKL
. Найдите его стороны.
Ответ. a\sqrt{3}
.
Указание. Докажите, что AKM
, BLK
и CML
— равные треугольники.
Решение. Обозначим \angle CML=\alpha
. Тогда
\angle CLM=180^{\circ}-60^{\circ}-\alpha=120^{\circ}-\alpha,
\angle AMK=180^{\circ}-\alpha-60^{\circ}=120^{\circ}-\alpha,
\angle AKM=180^{\circ}-(120^{\circ}-\alpha)-60^{\circ}=\alpha,
поэтому треугольники AKM
и CML
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, CL=AM=2a
. По теореме косинусов находим, что
LM^{2}=a^{2}+4a^{2}-2\cdot2a^{2}\cos60^{\circ}=3a^{2}.