2663. Теорема Стюарта. Точка D
расположена на стороне BC
треугольника ABC
. Докажите, что AB^{2}\cdot DC+AC^{2}\cdot BD-AD^{2}\cdot BC=BC\cdot DC\cdot BD
.
Указание. Выразите косинус угла ABC
по теореме косинусов из треугольников ABC
и ABD
и приравняйте полученные выражения.
Решение. По теореме косинусов находим косинус угла B
сначала из треугольника ABC
, а затем — из треугольника ABD
:
\cos\angle B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC},~\cos\angle B=\frac{AB^{2}+BD^{2}-AD^{2}}{2AB\cdot BD}.
Поэтому
\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{BC}=\frac{AB^{2}+BD^{2}-AD^{2}}{BD}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~AB^{2}\cdot BD+BC^{2}\cdot BD-AC^{2}\cdot BD=AB^{2}\cdot BC+BD^{2}\cdot BC-AD^{2}\cdot BC~\Rightarrow~
~\Rightarrow~BC^{2}\cdot BD-BD^{2}\cdot BC=AB^{2}\cdot BC-AD^{2}\cdot BC+AC^{2}\cdot BD-AB^{2}\cdot BD~\Rightarrow~
~\Rightarrow~BD\cdot BC\cdot(BC-BD)=(AB^{2}\cdot BC-AB^{2}\cdot BD)+AC^{2}\cdot BD-AD^{2}\cdot BC~\Rightarrow~
~\Rightarrow~BD\cdot BC\cdot DC=AB^{2}\cdot(BC-BD)+AC^{2}\cdot BD-AD^{2}\cdot BC~\Rightarrow~
~\Rightarrow~BD\cdot BC\cdot DC=AB^{2}\cdot DC+AC^{2}\cdot BD-AD^{2}\cdot BC.