2737. В вершине A
единичного квадрата ABCD
сидит муравей. Ему надо добраться до точки C
, где находится вход в муравейник. Точки A
и C
разделяет вертикальная стена, имеющая вид равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой BD
. Найдите длину кратчайшего пути, который надо преодолеть муравью, чтобы попасть в муравейник.
Ответ. 2.
Решение. Первый способ. Пусть K
— вершина прямого угла треугольника BKD
(вертикальной стены). Путь муравья состоит из четырёх отрезков: AM
, MP
, PM
и MC
, где точка M
лежит на прямой BD
, а точка P
— на отрезке DK
или BK
. Ясно, что AM=MC
, поэтому достаточно указать точки M
и P
, для которых путь AMP
будет минимальным.
Положим стену так, чтобы вершина K
совместилась с C
. Тогда точка P
совместится с некоторой точкой P_{1}
отрезка CD
(или BC
), и
AM+MP=AM+KP_{1}\geqslant AP_{1}\geqslant AD,
причём это неравенство обращается в равенство только в случае совпадения точек P_{1}
и D
. Следовательно, минимальный путь муравья проходит по сторонам AD
и CD
(или AB
и BC
). Длина этого пути равна 2.
Второй способ. Пусть K
— вершина прямого угла треугольника BKD
(вертикальной стены). Пусть на своём пути муравей пересекает катет BK
. Будем считать, что треугольник BKD
представляет собой бумажную складку: линиями сгиба являются BD
(дважды) и BK
(см.рис.). Развернув эту складку, получим, что путь муравья — ломаная, соединяющая точки A
и B
. Кратчайшая такая ломаная — отрезок AC
. Таким образом, длина кратчайшего пути равна 2 и кратчайшим является путь по сторонам квадрата в обход препятствия.