2739. Имеются четыре окружности. В первой проведена хорда AB
, при этом расстояние от середины меньшей из двух образовавшихся дуг до AB
равно 1. Вторая, третья и четвёртая окружности расположены внутри большего сегмента и касаются хорды AB
. Вторая и четвёртая окружности касаются изнутри первой и внешним образом третьей. Сумма радиусов трёх последних окружностей равна радиусу первой окружности. Найдите радиус третьей окружности, если известно, что прямая, проходящая через центры первой и третьей окружностей, непараллельна прямой, проходящей через центры двух других окружностей.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Указание. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
— центры окружностей. Докажите, что O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
— параллелограмм.
Решение. Обозначим через O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
центры первой, второй, третьей и четвёртой окружности соответственно, а их радиусы — соответственно r
, x
, y
и z
. По условию x+y+z=r
. Поскольку первая и вторая окружности касаются внутренним образом, а третья и четвёртая — внешним, то
O_{1}O_{2}=r-x=y+z=O_{3}O_{4}.
Точно так же докажем, что O_{1}O_{4}=O_{2}O_{3}
.
Предположим, что точки O_{2}
и O_{4}
лежат по одну сторону от прямой O_{1}O_{3}
. Тогда O_{2}O_{4}\parallel O_{1}O_{3}
, что противоречит условию. Значит, эти точки лежат по разные стороны от указанной прямой и O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
— параллелограмм.
Пусть M
— середина меньшей дуги AB
первой окружности, K
— точка пересечения O_{1}M
и AB
, F
— точка касания четвёртой окружности с хордой AB
, O_{2}P
и O_{3}Q
— перпендикуляры к O_{1}M
и O_{4}F
соответственно. Из равенства прямоугольных треугольников O_{1}O_{2}P
и O_{4}O_{3}Q
следует, что O_{1}P=O_{4}Q
, или r-1-x=z-y
, откуда
y=x+z-r+1=(r-y)-r+1=1-y.
Следовательно, y=\frac{1}{2}
.