2753. Через точку O
пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанию. Найдите отрезок этой прямой между боковыми сторонами трапеции, если средняя линия трапеции равна \frac{4}{3}
, а точка O
делит диагональ трапеции на части, отношение которых равно 1:3
.
Ответ. 1.
Указание. Пусть O
— точка пересечения диагоналей трапеции. Рассмотрите пары подобных треугольников и выразите OE
и OF
через основания трапеции.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
пересекаются в точке O
, а прямая, проходящая через точку O
параллельно основаниям, пересекает боковые стороны AB
и CD
в точках E
и F
соответственно. Пусть \frac{OC}{OA}=\frac{1}{3}
.
Из подобия треугольников BOC
и DOA
находим, что
\frac{AD}{BC}=\frac{AO}{OC}=3.
Поэтому \frac{AO}{AC}=\frac{3}{4}
и AD=3BC
. По теореме о средней линии треугольника
EF=\frac{AD+BC}{2}=\frac{4}{3},~\mbox{или}~2BC=\frac{4}{3},
откуда BC=\frac{2}{3}
, AD=2
.
Из подобия треугольников AOE
и ACB
находим, что
OE=BC\cdot\frac{AO}{AC}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{1}{2}.
Аналогично OF=\frac{1}{2}
. Значит,
EF=OE+OF=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.