2762. В трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
диагонали AC
и BD
пересекаются в точке E
. Вокруг треугольника ECB
описана окружность, а касательная к этой окружности, проведённая в точке E
, пересекает прямую AD
в точке F
таким образом, что точки A
, D
и F
лежат последовательно на этой прямой. Известно, что AF=a
, AD=b
. Найдите EF
.
Ответ. \sqrt{a(a-b)}
.
Указание. Докажите подобие треугольников DEF
и EAF
.
Решение. Угол, вертикальный с углом DEF
, равен половине дуги BE
, не содержащей точки C
(как угол между касательной и хордой), поэтому
\angle CAD=\angle BCE=\angle DEF.
Значит, треугольники DEF
и EAF
подобны по двум углам (угол при вершине F
— общий). Поэтому \frac{DF}{EF}=\frac{EF}{AF}
, откуда находим, что
EF^{2}=DF\cdot AF=a(a-b).
Следовательно, EF=\sqrt{a(a-b)}
.
