2787. В тупоугольном треугольнике ABC
на стороне AB
, равной 14, выбрана точка L
, равноудалённая от прямых AC
и BC
, а на отрезке AL
— точка K
, равноудалённая от вершин A
и B
. Найдите синус угла ACB
, если KL=1
, а \angle CAB=45^{\circ}
.
Ответ. \frac{4-\sqrt{2}}{6}
.
Указание. Докажите, что угол ABC
тупой и воспользуйтесь свойством биссектрисы треугольника, теоремой косинусов и теоремой синусов.
Решение. По условию точка K
— середина стороны AB
, а так как точка L
равноудалена от прямых AC
и BC
, то CL
— биссектриса треугольника ABC
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AC}{BC}=\frac{AL}{LB}=\frac{AK+KL}{BK-KL}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3},
поэтому AC\gt BC
, а так как \angle ABC\gt\angle BAC=45^{\circ}
, то \angle ACB\lt90^{\circ}
. Следовательно, угол ABC
— тупой.
Обозначим AC=4x
, BC=3x
. По теореме косинусов
BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2AC\cdot AB\cos45^{\circ},~\mbox{или}
9x^{2}=16x^{2}+196-2\cdot4x\cdot14\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},~\mbox{или}
x^{2}-8x\sqrt{2}+28=0,
откуда x=4\sqrt{2}+2
или x=4\sqrt{2}-2
.
Угол ACB
меньше 45^{\circ}
, так как в противном случае угол ABC
не может быть тупым. Значит, BC\gt AC
, но при x=4\sqrt{2}-2
получим, что BC=3x=12\sqrt{2}-6\lt14
(так как 12\sqrt{2}\lt20
). Поэтому BC=3x=12\sqrt{2}+6
.
По теореме синусов
\frac{AB}{\sin\angle ACB}=\frac{BC}{\sin45^{\circ}},
откуда находим, что
\sin\angle ACB=\frac{AB\sin45^{\circ}}{BC}=\frac{14\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{12\sqrt{2}+6}=\frac{4-\sqrt{2}}{6}.