2797. В остроугольном треугольнике ABC
известно, что BC=a
, AC=b
, \angle ACB=\alpha
. Найдите высоту CD
и угол ABC
.
Ответ. CD=\frac{ab\sin\alpha}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}}
;
\angle ABC=\arcsin\frac{b\sin\alpha}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}}.
Указание. Примените теоремы синусов и косинусов.
Решение. По теореме косинусов
AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}-2BC\cdot AC\cos\angle ACB}=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}.
Запишем двумя способами площадь треугольника ABC
:
\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}BC\cdot AC\sin\angle ACB.
Отсюда находим, что
CD=\frac{BC\cdot AC\sin\angle ACB}{AB}=\frac{ab\sin\alpha}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}}.
По теореме синусов
\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{AB}{\sin\angle ACB},
откуда
\sin\angle ABC=\frac{AC\sin\angle ACB}{AB}=\frac{b\sin\alpha}{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}}.