2801. В треугольнике даны два угла \beta
и \gamma
и радиус R
описанной окружности. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.
Ответ. 4R\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\beta+\gamma}{2}
.
Решение. Пусть r
— радиус окружности с центром O
, вписанной в треугольник ABC
, в котором \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
. Если K
— точка касания этой окружности со стороной BC
, то OK=r
— высота треугольника BOC
. Обозначим CK=x
, BK=y
. Тогда
x\tg\frac{\gamma}{2}=y\tg\frac{\beta}{2},
x+y=2R\sin(180^{\circ}-\beta-\gamma)=2R\sin(\beta+\gamma).
Из полученной системы уравнений находим, что
x=\frac{2R\sin(\beta+\gamma)\tg\frac{\beta}{2}}{\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}},
следовательно,
r=x\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{2R\sin(\beta+\gamma)\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}}{\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}}=\frac{2R\sin(\beta+\gamma)\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}}{\sin\frac{\beta+\gamma}{2}}=
=4R\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\beta+\gamma}{2}.