2810. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом 60^{\circ}
, а их длины относятся как 1:3
. Чему равна меньшая диагональ четырёхугольника ABCD
, если большая равна \sqrt{39}
?
Ответ. \sqrt{21}
.
Указание. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника и соответственно равны их половинам (см. задачу 1204).
Решение. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника и соответственно равны их половинам (см. задачу 1204). Обозначим через x
и 3x
половины диагоналей параллелограмма. Поскольку угол между ними равен 60^{\circ}
, то по теореме косинусов квадраты сторон параллелограмма равны
x^{2}+9x^{2}-3x^{2}=7x^{2},~x^{2}+9x^{2}+3x^{2}=13x^{2},
а так как большая диагональ четырёхугольника равна \sqrt{39}
, то большая сторона параллелограмма равна \frac{\sqrt{39}}{2}
, т. е. 13x^{2}=\frac{39}{4}
, откуда x=\frac{\sqrt{3}}{2}
. Тогда меньшая сторона параллелограмма равна x\sqrt{7}=\frac{\sqrt{21}}{2}
. Следовательно, меньшая диагональ данного четырёхугольника равна \sqrt{21}
.