2822. Около треугольника ABC
описана окружность. Продолжение биссектрисы CK
треугольника ABC
пересекает эту окружность в точке L
, причём CL
— диаметр данной окружности. Найдите отношение отрезков BL
и AC
, если \sin\angle BAC=\frac{1}{4}
.
Ответ. \sqrt{15}
.
Указание. \frac{BL}{AC}=\frac{BL}{BC}=\ctg\angle BAC
.
Решение. Точки A
и B
лежат на окружности с диаметром CL
, поэтому
\angle CAL=\angle CBL=90^{\circ}.
Кроме того, так как CL
— биссектриса вписанного угла ACB
, то отрезки BL
и AL
равны между собой, поэтому прямоугольные треугольники CAL
и CBL
равны по катету и гипотенузе. Значит, AC=BC
, а угол BAC
— острый. Поскольку \sin\angle BAC=\frac{1}{4}
, то
\ctg\angle BAC=\sqrt{\frac{1}{\sin^{2}\angle BAC}-1}=\sqrt{15}.
Вписанные углы BAC
и BLC
опираются на одну дугу, поэтому \angle BLC=\angle BAC
. Следовательно,
\frac{BL}{AC}=\frac{BL}{BC}=\ctg\angle BLC=\ctg\angle BAC=\sqrt{15}.