2835. Две окружности радиусов r
и R
с центрами в точках O_{1}
и O
внешне касаются в точке K
. В точке A
окружности радиуса R
проведена касательная, пересекающая окружность радиуса r
в точках B
и C
. Известно, что BC:AB=p
и отрезок AC
пересекает отрезок O_{1}K
. Определите:
а) при каких условиях на r
, R
и p
возможна такая геометрическая конфигурация;
б) длину отрезка BC
.
Ответ. а) \frac{p^{2}}{4(p+1)}\lt\frac{r}{R}\lt\frac{p^{2}}{2(p+1)}
;
б) BC=\frac{p}{p+1}\sqrt{4(p+1)Rr-p^{2}R^{2}}
.
Указание. Обозначьте AB=x
, BC=px
. Из точки O_{1}
опустите перпендикуляр O_{1}F
на прямую OA
и примените теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику O_{1}FO
.
Решение. Обозначим AB=x
. Тогда BC=px
. Пусть прямая AC
пересекает отрезок O_{1}K
в точке N
, а M
— середина хорды BC
. Тогда O_{1}M\perp BC
и
O_{1}M=\sqrt{O_{1}C^{2}-CM^{2}}=\sqrt{r^{2}-\frac{p^{2}x^{2}}{4}}.
Из точки O_{1}
опустим перпендикуляр O_{1}F
на прямую OA
. Тогда
OF=OA+AF=OA+O_{1}M=R+\sqrt{r^{2}-\frac{p^{2}x^{2}}{4}},
O_{1}F=AM=AB+BM=x+\frac{px}{2},
а так как O_{1}O^{2}=O_{1}F^{2}+OF^{2}
, имеем уравнение
(r+R)^{2}=\left(x+\frac{px}{2}\right)^{2}+\left(R+\sqrt{r^{2}-\frac{p^{2}x^{2}}{4}}\right)^{2}.
После раскрытия скобок и приведения подобных получим уравнение
R\sqrt{4r^{2}-p^{2}x^{2}}=2rR-x^{2}(p+1),
4r^{2}R^{2}-p^{2}x^{2}R^{2}=4r^{2}R^{2}-4rRx^{2}(p+1)+x^{4}(p+1)^{2},
x^{2}(p+1)^{2}=4rR(p+1)-p^{2}R^{2},
откуда
x=\frac{\sqrt{4(p+1)Rr-p^{2}R^{2}}}{p+1}.
Следовательно,
BC=px=\frac{p}{p+1}\sqrt{4(p+1)Rr-p^{2}R^{2}}.
Поскольку 4(p+1)Rr-p^{2}R^{2}\gt0
, имеем неравенство
\frac{r}{R}\gt\frac{p^{2}}{4(p+1)}.
Рассмотрим случай, когда прямая AC
проходит через точку O_{1}
. Тогда
O_{1}A=\sqrt{(R+r)^{2}-R^{2}}=\sqrt{2rR+r^{2}},
AB=AO_{1}-O_{1}B=\sqrt{2rR+r^{2}}-r,~BC=2r,
значит, в этом случае
\frac{BC}{AB}=\frac{2r}{\sqrt{2rR+r^{2}}-r}.
Для того, чтобы точка пересечения прямых AC
и O_{1}O
лежала на отрезке O_{1}K
, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
p\gt\frac{2r}{\sqrt{2rR+r^{2}}-r}.
Тогда
\sqrt{2rR+r^{2}}\gt r+\frac{2r}{p},~\sqrt{\frac{2R}{r}+1}\gt1+\frac{2}{p},
откуда
\frac{R}{r}\gt\frac{2(p+1)}{p^{2}},~\frac{r}{R}\lt\frac{p^{2}}{2(p+1)}.
Следовательно,
\frac{p^{2}}{4(p+1)}\lt\frac{r}{R}\lt\frac{p^{2}}{2(p+1)}.