2840. В треугольнике ABC
точка O
— центр описанной окружности, точка R
лежит на отрезке BC
и BR=RC
. Описанная около треугольника BRO
окружность пересекает AB
в точке T
. Найдите площадь треугольника ABC
, если \angle BOR=30^{\circ}
, RT=8
, BT=6
.
Ответ. 48.
Указание. BO
— диаметр окружности, описанной около треугольника BRO
. Треугольник ABC
подобен треугольнику TBR
с коэффициентом 2.
Решение. Поскольку O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, а R
— середина стороны BC
, то OR\perp BC
, значит, BO
— диаметр окружности, описанной около треугольника BRO
. Поэтому OT\perp AB
. Значит, T
— середина AB
, RT
— средняя линия треугольника ABC
, треугольник ABC
подобен треугольнику TBR
с коэффициентом 2.
Рассмотрим случай, когда точки O
и T
лежат по одну сторону от прямой BC
. Тогда
\angle BTR=\angle BOR=30^{\circ},
поэтому
S_{\triangle ABC}=4S_{\triangle TBR}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot BT\cdot TR\sin\angle BTR=96\sin30^{\circ}=48.
Если точки O
и T
лежат по разные стороны от прямой BC
, то
\angle BTR=180^{\circ}-\angle BOR=150^{\circ},
поэтому
S_{\triangle ABC}=4S_{\triangle TBR}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot BT\cdot TR\sin150^{\circ}=96\sin30^{\circ}=48.