2854. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите острый угол и большее основание трапеции, если меньшее основание равно 3, а высота трапеции равна 2.
Ответ. 5; \arctg2
.
Решение. Пусть AD
— большее основание равнобедренной трапеции ABCD
, CH
— высота трапеции, CH=2
, BC
— меньшее основание, BC=3
, AC\perp CD
. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла
CH^{2}=AH\cdot DH=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{4}(AD^{2}-BC^{2}),
или
4=\frac{1}{4}(AD^{2}-9),
откуда находим, что AD=5
. Следовательно,
DH=\frac{1}{2}(AD-BC)=1,~\tg\angle ADC=\frac{CH}{DH}=2.