2863. В трапеции ABCD
(BC\parallel AD
) известно, что AB=c
и расстояние от середины отрезка CD
до прямой AB
равно d
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. cd
.
Указание. Докажите, что площадь трапеции ABCD
вдвое больше площади треугольника ABM
, где M
— середина CD
(или через точку M
проведите прямую, параллельную боковой стороне AB
).
Решение. Первый способ. Пусть M
— середина боковой стороны CD
трапеции ABCD
(рис. 1), MN
— перпендикуляр, опущенный из точки M
на прямую AB
, MN=d
, h
— высота трапеции. Тогда
S_{\triangle AMD}+S_{\triangle BMC}=\frac{1}{2}AD\cdot\frac{1}{2}h+\frac{1}{2}BC\cdot\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(AD+BC)h=\frac{1}{2}S_{ABCD},
поэтому
S_{\triangle ABM}=S_{ABCD}-S_{\triangle AMD}-S_{\triangle BMC}=\frac{1}{2}S_{ABCD}.
Следовательно,
S_{ABCD}=2S_{\triangle ABM}=2\cdot\frac{1}{2}AB\cdot MN=AB\cdot MN=cd.
Второй способ. Пусть M
— середина боковой стороны CD
трапеции ABCD
(рис. 2), MN
— перпендикуляр, опущенный из точки M
на прямую AB
, MN=d
. Через точку M
проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
. Пусть эта прямая пересекает прямые BC
и AD
в точках K
и L
соответственно. Тогда треугольники CKM
и DLM
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому площадь трапеции ABCD
равна площади параллелограмма ABKL
, т. е. AB\cdot MN=cd
.