2881. В треугольнике ABC
известно, что AB=6
, BC=9
, AC=10
. Биссектриса угла B
пересекает сторону AC
в точке M
. На отрезке BM
взята точка O
так, что BO:OM=3:1
. Площадь какого из треугольников AOB
, BOC
или AOC
является наименьшей?
Ответ. Треугольник AOC
.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AM}{CM}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.
Поэтому
S_{\triangle ABM}=\frac{AM}{AC}S_{\triangle ABC}=\frac{2}{5}S_{\triangle ABC},~S_{\triangle CBM}=\frac{CM}{AC}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{5}S_{\triangle ABC},
S_{\triangle AOB}=\frac{BO}{BM}S_{\triangle ABM}=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{10}S_{\triangle ABC},
S_{\triangle COB}=\frac{BO}{MM}S_{\triangle CBM}=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{5}S_{\triangle ABC}=\frac{9}{20}S_{\triangle ABC},
Значит,
S_{\triangle AOC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AOB}-S_{\triangle COB}=S_{\triangle ABC}-\frac{3}{10}S_{\triangle ABC}-\frac{9}{20}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}.
Следовательно, наименьшую площадь имеет треугольник AOC
.