2883. Даны два отрезка: длины 1 и длины a
. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок, равный:
а) \frac{a^{2}-9}{a^{2}+a-2}
;
б) \sqrt{a^{3}-4a^{2}+3a}
.
Указание. а) Сведите задачу к построению отрезка \frac{mn}{k}
по данным отрезкам m
, n
и k
.
б) Сведите задачу к построению отрезка \sqrt{mn}
по данным отрезкам m
и n
.
Решение. а) Заметим, что
\frac{a^{2}-9}{a^{2}+a-2}=\frac{(a-3)(a+3)}{(a+2)(a-1)}\gt0,
поэтому 0\lt a\lt1
или a\gt3
.
Сначала построим отрезок x=\frac{|a-3|(a+3)}{a+2}
. Для этого рассмотрим произвольный угол с вершиной O
. На одной его стороне последовательно отложим отрезки OA=a+2
и AB=a+3
, а на второй — отрезок OC=|a-3|
. Через точку B
проведём прямую, параллельную AC
, до пересечения с лучом OC
в точке D
. Тогда CD
— искомый отрезок x
, так как по теореме о пропорциональных отрезках \frac{CD}{AB}=\frac{OC}{OA}
, откуда
CD=\frac{AB\cdot OC}{OA}=\frac{(a+3)|a-3|}{a+2}=x.
Теперь, зная отрезок x
можно аналогично построить отрезок
y=\frac{(a-3)(a+3)}{(a+2)(a-1)}=\frac{x\cdot1}{|a-1|}.
б) Заметим, что
a^{3}-4a^{2}+3a=a(a-3)(a-1)\gt0,
поэтому 0\lt a\lt1
или a\gt3
.
Сначала построим отрезки
x=\sqrt{|a-3|\cdot|a-1|},~y=\sqrt{a\cdot1},
затем — искомый отрезок z=\frac{xy}{1}
.