2895. Две окружности, вписанные в сегмент AB
данной окружности, пересекаются в точках M
и N
. Докажите, что прямая MN
проходит через середину C
дополнительной для данного сегмента дуги.
Указание. 1) Точка C
лежит на прямой, проходящей через точки касания вписанной в сегмент AB
окружности с данной окружностью и хордой AB
.
2) Если прямая, проходящая через точку C
, касается вписанной в сегмент окружности в точке Q
, то CQ=AC
.
3) Геометрической место точек, разность квадратов расстояний от каждой из которых до концов данного отрезка постоянна, есть прямая, перпендикулярная этому отрезку (см. задачу 2445).
Решение. Пусть CQ
— касательная, проведённая к окружности S_{1}
(рис. 1), вписанной в сегмент AB
данной окружности (Q
— точка касания). Докажем сначала, что CQ=AC
Пусть G
и H
— точки касания окружности S_{1}
с прямой AB
и с данной окружностью S
соответственно, а продолжение радиуса OC
данной окружности пересекает хорду AB
в точке K
. Тогда точки G
, H
и C
лежат на одной прямой (при гомотетии с центром H
, переводящей окружность S_{1}
в окружность S
, точка G
перейдёт в точку C
), а K
— середина AB
. Применив теорему о касательной и секущей, теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд и теорему Пифагора, получим, что
CQ^{2}=CG\cdot CH=CG(CG+GH)=CG^{2}+CG\cdot GH=
=(CK^{2}+KG^{2})+AG\cdot GB=(CK^{2}+KG^{2})+(AK+KG)(BK-KG)=
=(CK^{2}+KG^{2})+(AK+KG)(AK-KG)=(CK^{2}+KG^{2})+(AK^{2}-KG^{2})=
=CK^{2}+AK^{2}=AC^{2}.
Следовательно, CQ=AC
. Что и требовалось доказать.
Вернёмся к нашей задаче. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей S_{1}
и S_{2}
, вписанных в сегмент данной окружности S
и пересекающихся в точках M
и N
, а P
— точка касания с окружностью S_{2}
прямой, проходящей через точку C
. Тогда
CO_{2}^{2}=CP^{2}+O_{2}P^{2}=CP^{2}+O_{2}M^{2},~CO_{1}^{2}=CQ^{2}+O_{1}Q^{2}=CQ^{2}+O_{1}M^{2}.
По доказанному выше, CQ=AC
. Аналогично, CP=AC
, поэтому CQ=CP
. Значит,
CO_{2}^{2}-CO_{1}^{2}=(CP^{2}+O_{2}M^{2})-(CQ^{2}+O_{1}M^{2})=O_{2}M^{2}-O_{1}M^{2}.
Известно, что геометрической место точек, разность квадратов расстояний от каждой из которых до концов данного отрезка постоянна, есть прямая, перпендикулярная этому отрезку (см. задачу 2445). Следовательно, точки M
и C
лежат на прямой, перпендикулярной O_{1}O_{2}
. Аналогично, точки N
и C
лежат на прямой, перпендикулярной O_{1}O_{2}
, а так как через точку C
проходит единственная прямая, перпендикулярная O_{1}O_{2}
, то точки C
, M
и N
лежат на одной прямой.
Примечание. Если вписанные в сегмент окружности не пересекаются, а касаются, утверждение остаётся верным; в этом случае прямую MN
нужно заменить на касательную к окружностям в их общей точке.