2901. Пусть K
, L
, M
, N
— середины сторон AB
, BC
, CD
, AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
; отрезки KM
и LN
пересекаются в точке O
. Докажите, что
S_{AKON}+S_{CLOM}=S_{BKOL}+S_{DNOM}.
Решение. Отрезок OK
— медиана треугольника AOB
, поэтому S_{\triangle AOK}=S_{\triangle BOK}
. Аналогично,
S_{\triangle AON}=S_{\triangle DON},~S_{\triangle COL}=S_{\triangle BOL},~S_{\triangle COM}=S_{\triangle DOM}.
Следовательно,
S_{AKON}+S_{CLOM}=(S_{\triangle AOK}+S_{\triangle AON})+(S_{\triangle COL}+S_{\triangle COM})=
=(S_{\triangle BOK}+S_{\triangle DON})+(S_{\triangle BOL}+S_{\triangle DOM})=(S_{\triangle BOK}+S_{\triangle BOL})+(S_{\triangle DOM}+S_{\triangle DON})=
=S_{BKOL}+S_{DNOM}.