2911. На диагоналях AC
и BD
трапеции ABCD
с основаниями BC=a
и AD=b
расположены точки K
и L
соответственно, причём CK:KA=BL:LD=7:4
. Найдите KL
.
Ответ. \frac{|7b-4a|}{11}
.
Указание. Продолжите KL
до пересечения с одной из боковых сторон трапеции.
Решение. Проведём через точку K
прямую, параллельную основаниям. Пусть P
и L_{1}
— её точки пересечения со стороной CD
и диагональю BD
соответственно. Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что
DP:PC=AK:KC=4:7,~DL_{1}:L_{1}B=DP:PC=4:7.
Поэтому точка L_{1}
совпадает с точкой L
. Следовательно, KL\parallel AD
.
Из подобия треугольников CKP
и CDA
находим, что
KP=\frac{CK}{AC}\cdot AD=\frac{7}{11}AD=\frac{7}{11}b,
а из подобия треугольников DPL
и DCB
—
LP=\frac{4}{11}BC=\frac{4}{11}a.
Следовательно,
KL=|KP-LP|=\left|\frac{7}{11}b-\frac{4}{11}a\right|=\frac{|7b-4a|}{11}.