2912. Точки P
и Q
расположены соответственно на диагоналях AC
и BD
трапеции ABCD
, причём CP:AP=BQ:DQ=5:2
. Найдите PQ
, если известно, что основания AD
и BC
трапеции равны a
и b
соответственно.
Ответ. \frac{|5a-2b|}{7}
.
Указание. Продолжите PQ
до пересечения с одной из боковых сторон трапеции.
Решение. Проведём через точку P
прямую, параллельную основаниям. Пусть E
и Q_{1}
— её точки пересечения со стороной CD
и диагональю BD
соответственно. Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что
DE:EC=AP:CP=2:5,~DQ_{1}:Q_{1}B=AP:CP=2:5=DQ:QB.
Поэтому точка Q_{1}
совпадает с точкой Q
. Следовательно, PQ\parallel AD
.
Из подобия треугольников CPE
и CAD
находим, что
PE=\frac{CP}{AC}\cdot AD=\frac{5}{7}AD=\frac{5}{7}a,
а из подобия треугольников DEQ
и DCB
—
QE=\frac{2}{7}BC=\frac{2}{7}b.
Следовательно,
PQ=|PE-EQ|=\left|\frac{5}{7}a-\frac{2}{7}b\right|=\frac{|5a-2b|}{7}.