2921. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— основания высот треугольника ABC
. Известно, что A_{1}B_{1}=13
, B_{1}C_{1}=14
, A_{1}C_{1}=15
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{1365}{4}
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
; A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
— точки пересечения продолжений высот AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
соответственно с окружностью, описанной около треугольника ABC
. Тогда A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины отрезков HA_{2}
, HB_{2}
, HC_{2}
. Значит, A_{1}B_{1}
, B_{1}C_{1}
, A_{1}C_{1}
— средние линии треугольников A_{2}HB_{2}
, B_{2}HC_{2}
, A_{2}HC_{2}
, поэтому стороны треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
соответственно параллельны сторонами треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Следовательно, треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
подобен треугольнику A_{1}B_{1}C_{1}
с коэффициентом 2. Тогда
A_{2}B_{2}=2A_{1}B_{1}=26,~B_{2}C_{2}=2B_{1}C_{1}=28,~A_{2}C_{2}=2A_{1}C_{1}=30.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, R
— радиус этой окружности. Обозначим \angle A_{2}B_{2}C_{2}=\angle A_{1}B_{1}C_{1}=\beta
. Из треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
по теореме косинусов находим, что
\cos\beta=\frac{13^{2}+14^{2}-15^{2}}{2\cdot13\cdot14}=\frac{5}{13}.
Тогда
\sin\beta=\sqrt{1-\cos^{2}\beta}=\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^{2}}=\frac{12}{13},
R=\frac{A_{2}C_{2}}{2\sin\beta}=\frac{30}{2\cdot\frac{12}{13}}=\frac{65}{4}.
Известно, что радиусы OA
, OB
, OC
перпендикулярны отрезкам B_{1}C_{1}
, A_{1}C_{1}
, A_{1}B_{1}
соответственно (см. задачу 480). Следовательно,
S_{\triangle ABC}=S_{AB_{1}OC_{1}}+S_{BA_{1}OC_{1}}+S_{CA_{1}OB_{1}}=
=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}\cdot OA+\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot OB+\frac{1}{2}A_{1}B_{1}\cdot OC=
=\frac{1}{2}(B_{1}C_{1}+A_{1}C_{1}+A_{1}B_{1})\cdot R=\frac{1}{2}(14+15+13)\cdot\frac{65}{4}=\frac{1365}{4}.