2955. В произвольный треугольник вписана окружность. Проведём три касательные к ней, параллельно сторонам треугольника. Докажите, что периметр образовавшегося шестиугольника не превосходит \frac{2}{3}
периметра исходного треугольника.
Решение. Пусть O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
со сторонами AB=c
, AC=b
и BC=a
, MNPQRT
— шестиугольник, о котором говорится в условии задачи (см.рисунок). При симметрии относительно точки O
прямая MN
переходит в параллельную ей прямую BC
, а прямая AB
— в параллельную ей прямую PQ
, поэтому точка M
пересечения прямых MN
и AB
переходит в точку пересечения прямых BC
и PQ
, т. е. в точку Q
. Аналогично, точка N
переходит в точку R
. Следовательно, отрезок MN
переходит в отрезок QR
. Аналогично, отрезок PQ
переходит в отрезок TM
, а отрезок RT
— в отрезок NP
. Таким образом противоположные стороны шестиугольника MNPQRT
попарно равны.
Пусть p
и p_{1}
— полупериметры треугольников ABC
и AMN
соответственно, C_{1}
— точка касания окружности со стороной AB
. Тогда p_{1}=AC_{1}=p-a
, значит, коэффициент подобия треугольников AMN
и ABC
равен \frac{p_{1}}{p}=\frac{p-a}{p}
(см. задачи 219 и 4805), поэтому
QR=MN=BC\cdot\frac{p-a}{p}=\frac{a(p-a)}{p}.
Аналогично,
NP=RT=\frac{b(p-b)}{p},~TM=PQ=\frac{c(p-c)}{p}.
Следовательно, периметр шестиугольника MNPQRT
равен \frac{2a(p-a)}{p}+\frac{2b(p-b)}{p}+\frac{2c(p-c)}{p}
. Далее имеем:
\frac{2a(p-a)}{p}+\frac{2b(p-b)}{p}+\frac{2c(p-c)}{p}\leqslant\frac{2}{3}\cdot2p~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~\frac{a(p-a)}{p}+\frac{b(p-b)}{p}+\frac{c(p-c)}{p}\leqslant\frac{2}{3}p~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~(a+b+c)p-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant\frac{2}{3}p^{2}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~\frac{1}{2}(a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leqslant\frac{2}{3}\cdot\frac{(a+b+c)^{2}}{4}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geqslant(a+b+c)^{2}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}\geqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+a^{2}-2ac+c^{2}\geqslant0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}\geqslant0.
Что и требовалось доказать.