2962. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, причём касательные в точках B
и D
пересекаются в точке K
, лежащей на прямой AC
.
а) Докажите, что AB\cdot CD=BC\cdot AD
.
б) Прямая, параллельная KB
, пересекает прямые BA
, BD
и BC
в точках P
, Q
и R
. Докажите, что PQ=QR
.
Решение. а) По теореме об угле между касательной и хордой \angle ABK=\angle BCK
(рис. 1), поэтому треугольники ABK
и BCK
подобны по двум углам, значит, \frac{AB}{BC}=\frac{BK}{CK}
. Аналогично, \frac{AD}{CD}=\frac{DK}{CK}
, а так как DK=BK
, то
\frac{AD}{CD}=\frac{DK}{CK}=\frac{BK}{CK}=\frac{AB}{BC}.
Следовательно, AB\cdot CD=BC\cdot AD
.
б) Заметим, что \angle BPQ=\angle KBA=\angle BDA
(рис. 2). Применяя теорему синусов к треугольникам PBQ
и ABD
, получим, что
\frac{PQ}{BQ}=\frac{\sin\angle PBQ}{\sin\angle BPQ}=\frac{\sin\angle ABD}{\sin\angle KBA}=\frac{\sin\angle ABD}{\sin\angle BDA}=\frac{AD}{AB}.
Аналогично, \frac{QR}{BQ}=\frac{CD}{BC}
, а так как AB\cdot CD=BC\cdot AD
(по доказанному ранее), то \frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}
, поэтому \frac{PQ}{BQ}=\frac{QR}{BQ}
. Следовательно, PQ=QR
.