2965. Вершины A
и B
правильного треугольника ABC
лежат на окружности S
, а вершина C
— внутри этой окружности. Точка D
лежит на окружности S
, причём BD=AB
. Прямая CD
пересекает S
в точке E
. Докажите, что длина отрезка EC
равна радиусу окружности S
.
Решение. Точки A
, C
и D
равноудалены от точки B
, поэтому точка B
— центр окружности S_{1}
, описанной около треугольника ACD
. Угол ADC
вписан в окружность S_{1}
, а ABC
— центральный угол этой окружности, поэтому
\angle ADE=\angle ADC=\frac{1}{2}\angle ABC=30^{\circ}.
Пусть O
— центр окружности S
. Тогда AOE
— центральный угол окружности S
, соответствующий вписанному углу ADE
. Поэтому
\angle AOE=2\angle ADE=60^{\circ},
значит, треугольник AOE
— также равносторонний. Следовательно, OE=AE
.
Точки O
и C
равноудалены от концов отрезка AB
, поэтому прямая OC
— серединный перпендикуляр к этому отрезку, значит, OC
— биссектриса угла AOB
. Тогда
\angle AOC=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}\cdot2\angle AEB=\angle AEB=\frac{1}{2}\angle AED=\frac{1}{2}\angle AEC.
Поскольку EO=EA
, точки O
и A
лежат на окружности S_{2}
с центром E
. Докажем, что точка C
также лежит на этой окружности. Отсюда будет следовать требуемое равенство отрезков OE
и EC
.
Предположим, что луч OC
пересекает окружность в некоторой точке C_{1}
. Тогда AEC_{1}
— центральный угол окружности S_{2}
, соответствующий вписанному углу AOC_{1}
, поэтому
\angle AEC_{1}=2\angle AOC_{1}=2\angle AOC=\angle AEC.
Следовательно, точка C_{1}
совпадает с точкой C
. Отсюда следует, что точка C
лежит на окружности S_{2}
.