2967. Окружности S_{1}
и S_{2}
касаются внешним образом в точке F
. Их общая касательная l
касается S_{1}
и S_{2}
в точках A
и B
соответственно. Прямая, параллельная AB
, касается окружности S_{2}
в точке C
и пересекает S_{1}
в точках D
и E
. Докажите, что общая хорда окружностей, описанных около треугольников ABC
и BDE
, проходит через точку F
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей S_{1}
и S_{2}
соответственно. Радиусы O_{2}B
и O_{2}C
окружности S_{2}
перпендикулярны параллельным прямым — касательным к окружности S_{2}
, значит, BC
— диаметр окружности S_{2}
. Поэтому \angle BFC=90^{\circ}
.
Пусть общая касательная к окружностям S_{1}
и S_{2}
пересекает прямую AB
в точке M
. Тогда MB=MF=MA
, т. е. медиана FM
треугольника AFB
равна половине стороны AB
. Следовательно, треугольник AFB
— прямоугольный, \angle AFB=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Таким образом,
\angle AFC=\angle AFB+\angle BFC=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ},
т. е. точки A
, F
и C
лежат на одной прямой.
Поскольку треугольник ABC
прямоугольный, центр O
его описанной окружности — середина гипотенузы AC
. Докажем, что точка A
— центр описанной окружности треугольника BDE
.
Касательная AB
параллельна хорде DE
окружности S_{1}
, поэтому A
— середина дуги DE
этой окружности. Значит, AD=AE
.
Пусть R
и r
— радиусы окружностей S_{1}
и S_{2}
соответственно, T
— проекция точки O_{2}
на AO_{1}
. Тогда
AB=O_{2}T=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}T^{2}}=\sqrt{(R+r)^{2}-(R-r)^{2}}=2\sqrt{rR}.
Пусть P
— середина хорды DE
. Из прямоугольных треугольников O_{1}PE
и APE
находим, что
PE^{2}=O_{1}E^{2}-O_{1}P^{2}=O_{1}E^{2}-(AP-O_{1}A)^{2}=O_{1}E^{2}-(BC-O_{1}A)^{2}=R^{2}-(2r-R)^{2},
AE=\sqrt{PE^{2}+AP^{2}}=\sqrt{R^{2}-(2r-R)^{2}+4r^{2}}=2\sqrt{rR}=AB.
Следовательно, AB=AE=AD
, т. е. A
— центр описанной окружности треугольника ADE
.
Центры O
и A
описанных окружностей треугольников ABC
и BDE
лежат на прямой AC
, B
— одна из точек пересечения этих окружностей, при этом BF\perp AC
. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде, следовательно, общая хорда описанных окружностей треугольников ABC
и BDE
проходит через точку F
.