2972. Высоты AD
и BE
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
. Описанная окружность треугольника ABH
пересекает отрезки AC
и BC
в точках F
и G
, отличных от концов. Докажите, что FG=2DE
.
Указание. Треугольники CBF
и CAG
— равнобедренные.
Решение. Вписанные углы FBH
и FAH
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle FBE=\angle FBH=\angle FAH=\angle CAD.
С другой стороны, ACB
— общий острый угол прямоугольных треугольников CAD
и CBE
, поэтому \angle CBE=\angle CAD
. Значит, \angle FBE=\angle CBE
. В треугольнике CBF
высота BE
является биссектрисой, поэтому треугольник CBF
равнобедренный, значит, BE
— медиана этого треугольника, а E
— середина отрезка CF
. Аналогично D
— середина отрезка CG
, поэтому DE
— средняя линия треугольника FCG
. Следовательно, FG=2DE
. Что и требовалось доказать.